КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Дата: 18 мая 2025 г.

Доказательство формулы дискриминанта квадратного уравнения

• Введение
• Метод выделения полного квадрата
• Анализ дискриминанта

1. Введение

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

где $a \neq 0$, а $a, b, c$ — действительные числа.

Для решения такого уравнения используется формула дискриминанта, определяемая как:

Значение дискриминанта позволяет определить количество и тип корней уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (кратный два).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексно-сопряженных корня).

В данной статье мы докажем, почему именно так выглядит формула для дискриминанта и как она связана с корнями квадратного уравнения.

2. Метод выделения полного квадрата

Рассмотрим исходное уравнение:

Разделим обе части на $a$ (поскольку $a \neq 0$):

Теперь применим метод выделения полного квадрата. Напомним, что:

Сгруппируем первые два члена и дополним до полного квадрата:

Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем $\left( \frac{b}{2a} \right)^2$:

Перепишем левую часть как полный квадрат:

Переносим остаток в правую часть:

Приводим правую часть к общему знаменателю:

Обозначим:

Тогда:

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

Решаем относительно $x$:

Таким образом, мы получаем известную формулу корней квадратного уравнения:

3. Анализ дискриминанта

Как видно из последнего выражения, под знаком квадратного корня стоит величина $D = b^2 - 4ac$. От её значения зависит характер корней:

• При $D > 0$: $\sqrt{D}$ — вещественное число, уравнение имеет два различных действительных корня.
• При $D = 0$: $\sqrt{D} = 0$, и корень единственный: $x = -\frac{b}{2a}$.
• При $D < 0$: $\sqrt{D}$ становится мнимым числом, и корни комплексные.

4. Заключение

Формула дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ появляется естественным образом при выводе корней квадратного уравнения методом выделения полного квадрата. Она играет ключевую роль в классификации решений уравнения и является важным инструментом при исследовании квадратичных функций.

Ну как, понравилось?